Родился 1 декабря 1922 года в Моршанске, Тамбовской губернии. Окончил Военно-воздушную академию им. Н. Е. Жуковского в 1956 году, Военный институт физической культуры и спорта в 1960 году.

С детства  Бобров Всеволод Михайлович и его брат Владимир увлекались хоккеем и футболом. В 1938 г. их пригласили играть за команду "Динамо" (Ленинград).

После окончания школы Всеволод Бобров работал слесарем-инструментальщиком на заводе "Прогресс", во время войны завод эвакуировали в Омск.В 1941-1943 гг. - играл за омские команды, в 1942 г. выступал за сборную города Омска.

В 1945 г. Боброва пригласили выступить за футбольную команду московского "Динамо" во время турне по Великобритании.

С 1945 по 1949 гг. выступал за хоккейную команду ЦДКА (Центрального Дома Красной Армии).

В 1947 -1953 гг. Бобров совмещал свои выступления в футболе с хоккеем.

В 1949 г. - перешел  в хоккейную команду ВВС (Военно-Воздушных Сил), а с 1950 по 1953 г. - играющий тренер этой команды.

В 1953 г. - тренер футбольной команды ВВС.

В 1953 году выступал за футбольную команду «Спартак» (Москва).

В 1954 г. сборная СССР дебютировала на чемпионате мира по хоккею и  заняла первое место. Всеволод Бобров был признан лучшим нападающим мира.

Бобров Всеволод Михайлович был единственным в истории спорта участником Олимпийских игр, капитаном футбольной команды в 1952 году в Хельсинки и хоккейной команды в 1956 году в Кортина д'Ампеццо, выигравшей золотые медали. Но в конечном итоге, из-за многочисленных травм  Всеволод Бобров сделал выбор в пользу хоккея на льду.

С 1958 по 1960 гг. - тренер в ЦСКА (Москва).

В 1964 - 1967 гг. -  тренер хоккейной команды «Спартак» (Москва).

В 1967 - 1969, 1977 - 1978 гг. - главный тренер ЦСКА (Москва), начальник команды ЦСКА (1968 - 1969).

С 1972 по 1974 гг. - тренер сборной команды СССР. Бобров руководил сборной команды СССР, когда она впервые сыграла серию матчей против канадских профессионалов в 1972 г. В знак уважения канадцы наградили Боброва специальной золотой медалью.

В 1975 г. - главный тренер команды "Кайрат" (Алма-Ата).

Входил в число "33 лучших" - 1 раз (под №1). Был включен в символическую сборную СССР за 50 лет.

Автор книг: "Самый интересный матч" и "Рыцари спорта".

Награжден орденом Ленина (1957) и медалями.

Умер 1 июля 1979 года в Москве.

Именем Всеволода Боброва назван приз, вручаемый самой результативной команде Чемпионата России по хоккею с шайбой.