Родился 21 февраля 1925 года в городе Боровске Калужской области.В школе начал заниматься футболом. В 1941г. должен был состояться его дебют в столичной команде «Старт». Но началась война.

В 1945 году Алексей Александрович поступает в Малаховский областной техникум физической культуры.

1946 г. Парамонов попал в состав команды ВВС.1947- 1960 гг. выступает за московский «Спартак»

В 1960-1965 годах А.Парамонов - главный тренер юношеской сборной СССР

В 1964-1965 и 1975-1976 годах Алексей Парамонов работал в Тунисе главным тренером команды "Этуаль", которую вывел в чемпионы страны и привел к победе в Кубке Туниса.

1969 г.- Алексей Парамонов окончил Московский педагогический институт имени Н.К.Крупской и получил диплом преподавателя физического воспитания.

1967-1969 и 1979-1984 - тренер молодежной сборной команды СССР.

1969-1971 и 1973-1974 - тренер сборной СССР

 В 1972, 1975, 1978, 1991, 1992 годах - тренер Управления футбола Спорткомитета СССР.

В 1983-1990 годах - член комитета УЕФА по проведению Еврокубков

В 1985-1990 годах А.Парамонов - государственный тренер

В 1991-1995 годах - член комитета УЕФА по мини-футболу

С 1992 года - заместитель председателя комитета ветеранов РФС

С 1993 года - ответственный секретарь совета президентов Федераций футбола стран СНГ, а с 1996г. председатель комитета ветеранов РФС. В чемпионатах страны Алексей Парамонов провел 318 матчей и забил 63 мяча.

Парамонов - чемпион СССР (1952, 1953, 1956, 1958); 2-й призер чемпионатов (1954, 1955); 3-й призер (1948, 1949, 1957); обладатель Кубка СССР (1950, 1958); финалист Кубка СССР (1952, 1957); победитель Спартакиады народов СССР (1956).

В составе сборной команды СССР Алексей Парамонов провел 13 матчей (1954-1957). Чемпион Олимпийских игр 1956

А. Парамонов - заслуженный мастер спорта, заслуженный тренер России .Награжден орденами "Знак Почета" и Дружбы, орденом "За заслуги перед Отечеством" IV степени, Олимпийским орденом Международного олимпийского комитета и Рубиновым орденом УЕФА "Спортивная слава" за развитие и пропаганду футбола. Является  автором методического пособия "Игра полузащитника" (два издания), заслуженный мастер спорта, заслуженный тренер России. В 2006 году Александру Парамонову вручена Национальная спортивная премия "Слава" в номинации "Легенда".

Семейное положение: женат, имеет дочь